Новости  Акты  Бланки  Договор  Документы  Правила сайта  Контакты
 Топ 10 сегодня Топ 10 сегодня 
  
15.3.2017

Наибольшее и наименьшее значения точки экстремума - Тема 1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

Говорят, что функциязаданная на некотором промежутке, имеет максимум минимум в точке из этого промежутка, если существует такая окрестность точкичто для всех из этой окрестности.

Максимум или минимум называют экстремумом функции. По определению максимума и минимума функции они могут достигаться только во внутренней точке области ее определения, так как требуется чтобы имела смысл во всех точках окрестности.

Понятие экстремума нельзя смешивать с понятием наибольшего и наименьшего значений функции на всем промежутке ее задания. Экстремальные значения функции являются наибольшими или наименьшими только по отношению к близлежащим точкам, а по отношению к другим точкам значение может оказаться и не наибольшим или не наименьшим. Когда же говорят о наибольшем значении нато под этим понимают такое ее значение, больше которого нет ни в одной точке этого отрезка, включая и концы. Следовательно, наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке могут быть либо экстремальные значения, либо значения на концах.

Практические способы нахождения точек, в которых функция имеет экстремум, базируются на следующих теоремах. Если функция имеет экстремум в точке и существует. Условие не является достаточным для существования экстремума, то есть производная может обращаться в нуль и в точках, где нет экстремума. Например, для производнаяеслиоднако экстремума в этой точке нет, поскольку в любой окрестности нуля есть точки, значения функции в которых будут и больше, и меньше.

Точки, в которых производная обращается в нуль, называют стационарными. Функция может иметь экстремум также в точках, где обращается в бесконечность или не существует. Все такие точки называют подозрительными на экстремум или критическими. Для того чтобы решить вопрос о наличии экстремума в подозрительной точке, надо каждую точку подвергнуть дополнительному исследованию. Если при переходе через подозрительную точку в направлении возрастания меняет знак, то в этой точке имеет экстремум, причем: Если же при переходе через точку не меняет знака, то в этой точке нет экстремума.

Исследовать на экстремум функцию. Функция определена на всей числовой оси. Ее производная всюду конечна, следовательно, подозрительными на экстремум будут только стационарные точки. Решая уравнениеполучим. Исследуем знак производной в непосредственной близости от точек и: Производная не обращается в нуль ни при каком конечном значении.

В точке она обращается в бесконечность. Так как при и прито в точке функция имеет минимум. Если имеет несколько критических точек, то поступают следующим образом. Расположим эти точки в порядке возрастания:. В каждом из интервалов существует конечнаяимеющая постоянный знак в каждом интервале если бы меняла знак, то в силу непрерывности внутри интервала нашлась бы точка, в которойчто невозможно, так как все такие точки перечислены в 1. Взяв по одной точке из каждого интервала, получим некоторую последовательность знаковчто позволит сразу решить вопрос о наличии экстремума в каждой подозрительной точке.

Функция определена на промежутке. Производная всюду конечна, следовательно, подозрительными на экстремум будут только стационарные точки. Решая уравнениенайдем.

Точки уже записаны в порядке возрастания. Промежуток этими точками разобьется на интервалы. Учитывая, что на знак влияют только два ее сомножителя иопределение ее знаков в каждом из интервалов проведем по следующей схеме:. Отсюда делаем вывод, что в точке экстремума нет, в точке — максимум,а в точке — минимум. Пусть имеет в точке и в ее окрестности непрерывные первую и вторую производные, причем. Тогда имеет в точке минимум максимум.

Находимстационарные точки. В точке имеем максимум, так кака в точке — минимум, так какпричем. Второй способ исследования практически более удобен, так как он быстрее приводит к цели, но он не всегда применим. Этим способом не охватываются случаи, когда в исследуемой точке не существует первой производной, а также когда вторая производная равна нулю. Иногда и вычисление второй производной настолько громоздко, что проще воспользоваться первым способом.

По определению модуля заданную функцию перепишем в виде. Очевидно, что для и длято есть имеются разные односторонние производные, следовательно, в точке не существует. Так как стационарных точек нет, то единственной точкой, подозрительной на экстремум, является. Второй достаточный признак экстремума неприменим, так. Воспользуемся первым достаточным признаком. Поскольку при переходе через точку слева направо сменила знак с нато в этой точке имеет минимум.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Для решения задачи достаточно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка, а затем, не проводя исследования на экстремум, сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее значения.

Тема 1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке — Студопедия

Из уравнения находим стационарные точки. Других подозрительных точек. Сравнивая значения,заключаем, что является наименьшим, а — наибольшим значениями функции. Известно, что если слева от возрастает, а справа убывает, то в точке функция имеет максимум. Верно ли обратное утверждение?

Наибольшее и наименьшее значения.

Может ли функция, имеющая максимум, не иметь наибольшего значения? Может ли функция, имеющая наибольшее значение, не иметь максимума? Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам. Решение контрольных по математике!!!

Наибольшее и наименьшее значения.

Связаться с нами E-mail: Главное меню Главная Заказать контрольную Цены Оплата FAQ Отзывы клиентов Ссылки Примеры решений Методички по математике Помощь по другим предметам. Home Методички по математике Высшая математика. Наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее и наименьшее значения Определение. Первый достаточный признак экстремума. Расположим эти точки в порядке возрастания: Учитывая, что на знак влияют только два ее сомножителя иопределение ее знаков в каждом из интервалов проведем по следующей схеме: По определению модуля заданную функцию перепишем в виде Очевидно, что для и длято есть имеются разные односторонние производные, следовательно, в точке не существует.

Вопросы для самопроверки и упражнения. Может ли значение максимума функции оказаться меньше минимума этой же функции? Может ли монотонная функция иметь экстремум? Да в обоих случаях. Найти точки экстремума функций: Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

  Комментарии к новости 
 Главная новость дня Главная новость дня 
Рисовать людей простым карандашом для начинающих
Просмотр карты в реальном времени
 
 Эксклюзив Эксклюзив 
Indesit c236g 016 инструкция по эксплуатации
Как выглядит биометрический паспорт фото
Ленивый муж что делать
 

www.tibettouradvisor.com